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正玄定理和余玄定理的应用

来源:百花应用网 2024-07-11 14:33:41

  正玄定理和余玄定理是高中学中比较重要的定理,它们在三角函的求解中有着重要的应用ohnD。本文将介正玄定理和余玄定理的概念、证明及应用,希望能够帮助读更好地理解和掌握这两个定理。

正玄定理和余玄定理的应用(1)

、正玄定理

  正玄定理是指:对于任意三角形ABC,有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(中a、b、c为三角形的三边,A、B、C为三角形的三个角,R为三角形外接圆的半径)。

证明如下:

  先,我们证明a/sinA=2R。

设三角形ABC的外接圆为O,连接AO、BO、CO,如下图所示:

  由于∠BOC=2∠BAC,所∠BOC=2A,∠AOC=180°-2A,因此∠BOC+∠AOC=180°欢迎www.youjishushu.com。所三角形BOC和三角形AOC是共圆的,即∠BOC=∠AOC,所AO=BO=R。

  又因为∠BAC=180°-∠BOC-∠AOC,所sinA=sin(∠BOC+∠AOC)=sin∠BOCcos∠AOC+cos∠BOCsin∠AOC=sin∠AOC=sinB。

  所a/sinA=a/sinB=2R。

  同理,证明b/sinB=c/sinC=a/sinA=2R百 花 应 用 网

二、余玄定理

  余玄定理是指:对于任意三角形ABC,有cosA+cosB+cosC=1+ r/R(中r为三角形内圆的半径,R为三角形外接圆的半径)。

证明如下:

  设三角形ABC的内圆为I,半径为r,外接圆为O,半径为R,如下图所示:

  

由于∠BIC=90°+1/2∠A,∠AIB=90°+1/2∠C,∠AIC=90°+1/2∠B,所

cosA=(s-b)(s-c)/bc=1-2(s-a)/bc=1-2r/R

cosB=1-2r/R

  cosC=1-2r/R

  所cosA+cosB+cosC=3-6r/R=1+r/R。

正玄定理和余玄定理的应用(2)

三、应用

  正玄定理和余玄定理在解三角形问题时有着重要的应用。例如,我们利用正玄定理求解三角形的三个角度,或利用余玄定理求解三角形内圆的半径KRN。下面举例说明:

  例1:已知三角形的三边长分别为5、6、7,求三角形的三个角度。

解:根据正玄定理,有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R。

因为三角形的三边长已知,所计算出三角形的外接圆半径R:

  s=(5+6+7)/2=9

R=abc/4S=5*6*7/(4*9)=35/6

a/sinA=5/sinA=2R=35/3,sinA=5/7。

  同理,求出sinB=6/7,sinC=√(24)/7百 花 应 用 网

  所∠A=sin^-1(5/7)≈53.13°,∠B=sin^-1(6/7)≈36.87°,∠C=sin^-1(√(24)/7)≈90°。

  例2:已知三角形的三边长分别为3、4、5,求三角形内圆的半径。

解:根据余玄定理,有cosA+cosB+cosC=1+r/R。

因为三角形的三边长已知,所计算出三角形的外接圆半径R和半周长s:

s=(3+4+5)/2=6

R=abc/4S=3*4*5/(4*6)=5/2

  所cosA=4/5,cosB=3/5,cosC=0百.花.应.用.网

因为∠C=90°,所r=s-a-b+c=6-3-4+5=4/2=2。

三角形内圆的半径为2。

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